ピタゴラス の 定理 証明。 ピタゴラスの定理を証明する方法

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

ピタゴラス の 定理 証明

視覚的証明 における ピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、: Pythagorean theorem)は、の3の長さの関係を表す。 三平方の定理(さんへいほうのていり)、 勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。 ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。 例えば、において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる。 このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。 この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間のを測ることができる。 このようにして導入される距離はと呼ばれる。 「がのタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスがしたかどうかは分からない。 のや などでもについては知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。 中国古代の数学書『』や『』でもこの定理が取り上げられている。 中国ではこの定理を 勾股定理、 商高定理等と呼び、日本のでも中国での名称を用いて 鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ。 三平方の定理という名称は、が禁じられていた中にの図書監修官であったの依頼を受けて、数学者が命名したものである [ ]。 特に、 a, b, c がであるピタゴラス数 a, b, c を 原始的 primitive あるいは 素 coprime であるといい、そのようなピタゴラス数は 原始ピタゴラス数 primitive Pythagorean triple などと呼ばれる。 全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数 a, b, c の正の整数倍 da, db, dc により得られる。 ピタゴラス数 a, b, c が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることがである。 原始ピタゴラス数の具体例は a, b, c が100未満で、 a n• 上記の m, n は無数に存在するので、原始ピタゴラス数は無数に存在する。 これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく見つけ出すことができる。 原始ピタゴラス数の一覧表 m n a b c 1 2 1 3 4 5 2 3 2 5 12 13 3 4 3 7 24 25 4 4 1 8 15 17 5 5 4 9 40 41 6 6 5 11 60 61 7 6 1 12 35 37 8 7 6 13 84 85 9 8 7 15 112 113 10 8 1 16 63 65 11 9 8 17 144 145 12 10 9 19 180 181 13 5 2 20 21 29 14 10 1 20 99 101 15 11 10 21 220 221 16 12 11 23 264 265 17 12 1 24 143 145 18 13 12 25 312 313 19 14 13 27 364 365 20 7 2 28 45 53 21 14 1 28 195 197 22 15 14 29 420 421 23 16 15 31 480 481 24 16 1 32 255 257 25 7 4 33 56 65 m n a b c 26 17 16 33 544 545 27 18 17 35 612 613 28 9 2 36 77 85 29 18 1 36 323 325 30 19 18 37 684 685 31 8 5 39 80 89 32 20 19 39 760 761 33 20 1 40 399 401 34 21 20 41 840 841 35 22 21 43 924 925 36 11 2 44 117 125 37 22 1 44 483 485 38 23 22 45 1012 1013 39 24 23 47 1104 1105 40 8 3 48 55 73 41 24 1 48 575 577 42 25 24 49 1200 1201 43 10 7 51 140 149 44 26 25 51 1300 1301 45 13 2 52 165 173 46 26 1 52 675 677 47 27 26 53 1404 1405 48 28 27 55 1512 1513 49 28 1 56 783 785 50 11 8 57 176 185 m n a b c 51 29 28 57 1624 1625 52 30 29 59 1740 1741 53 10 3 60 91 109 54 15 2 60 221 229 55 30 1 60 899 901 56 31 30 61 1860 1861 57 32 31 63 1984 1985 58 32 1 64 1023 1025 59 9 4 65 72 97 60 33 32 65 2112 2113 61 34 33 67 2244 2245 62 17 2 68 285 293 63 34 1 68 1155 1157 64 13 10 69 260 269 65 35 34 69 2380 2381 66 36 35 71 2520 2521 67 36 1 72 1295 1297 68 37 36 73 2664 2665 69 14 11 75 308 317 70 38 37 75 2812 2813 71 19 2 76 357 365 72 38 1 76 1443 1445 73 39 38 77 2964 2965 74 40 39 79 3120 3121 75 40 1 80 1599 1601 原始ピタゴラス数 a, b, c について、次のような性質も成り立つ。 a または b は 4 の倍数• a または b は 3 の倍数• Jesmanowicz 予想 [ ] 1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。 a, b, c を原始ピタゴラス数、 n を自然数とする。 特別なピタゴラス数 [ ]• 直角を作る a , b の長さが連続するピタゴラス数は 3, 4, 5 , 20, 21, 29 , 119, 120, 169 , … の数列 である。 この問題はフランスの数学者が出題し、解も発見した。 この問題はフランスの数学者が出題し、解も発見した。 これは高次元へ一般化できる。 ピタゴラスの定理の証明 [ ] この定理には数百通りもの異なるが知られている。 ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。 相似による証明 [ ] 相似を用いた証明 C から斜辺 AB に下ろしたの足を H とする。 3 となる。 オイラーの公式を用いた証明 [ ] と指数関数はによってされているものとする。 (指数法則やの証明に本定理が使用されない定義であればよい。 の時点ですでに上において本定理の成立が明らかである。 よって 3 が得られる。 三角関数の不定積分を用いた証明 [ ] 下記のように関数を定める。 以下に証明を示す。 同一法を用いた証明 [ ] 2 が成り立っている。 なお、この証明から分かるように、• 余弦定理を用いた証明 [ ] 余弦定理を用いた証明 ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。 ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• 大矢, 真一『』東海大学出版会〈Tokai library〉、2001年8月。 大矢, 真一『ピタゴラスの定理』東海大学出版会〈東海科学選書〉、1975年。 『ピタゴラスの定理』東海書房、1952年。 亀井喜久男. 2008年3月3日閲覧。 国立国会図書館• 数理解析研究所講究録 京都大学数理解析研究所 1828: 105. (2013年11月28日時点の) - 道新ぶんぶんクラブ(北海道新聞社)• a の順序はの数列 による。 b, cを昇順に並べると、それぞれの数列 およびの数列 になる。 , pp. 31-34, 106-109• , pp. 19-22, 49-55• a の順序はの数列 による。 , pp. 93-95, 99-101 、, pp. 114-115, 180• , pp. 99-101, 147-149• , pp. 151, 174-177 、の数列 を参照。 ただしオンライン数列内のコメント内にある a の値が間違っているので注意が必要。 稲津 將. 2014年10月4日閲覧。 2014年10月4日閲覧。 Leff, Lawrence S. 2005. 7th ed. Barron's Educational Series. 296. 2014年10月8日閲覧。 2014年10月5日閲覧。 2014年11月26日閲覧。 Hamilton, James Douglas 1994. Time series analysis. Princeton University Press. 714. 2014年11月22日閲覧。 2014年11月20日閲覧。 2014年11月20日閲覧。 2014年11月22日閲覧。 2014年11月22日閲覧。 参考文献 [ ]• 『フェルマーの大定理が解けた! オイラーからワイルズの証明まで』〈 B-1074〉、1995年6月。 出光英則『ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理』 編、国土社〈数学ワンダーランド 7〉、1997年8月。 カプラン, ロバート、カプラン, エレン『数学の隠れたハーモニー ピタゴラスの定理のすべて』水谷淳 訳、ソフトバンククリエイティブ、2011年12月。 — 原題: Hidden harmonies. シルヴァーマン, ジョセフ・H『はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』鈴木治郎 訳、丸善出版、2014年5月、原著第3版。 — 原題: A friendly introduction to number theory 3rd ed. 『フェルマ 数と曲線の真理を求めて』現代数学社、2019年1月。 マオール, エリ『ピタゴラスの定理 4000年の歴史』伊理由美 訳、岩波書店、2008年2月。 — 原題: The Pythagorean theorem. 森下四郎『ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道』プレアデス出版、2010年8月、改訂版。 森下四郎『ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎』プレアデス出版、2010年12月。 関連項目 [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。

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「ピタゴラスの定理」の証明アニメ6(ユークリッド)

ピタゴラス の 定理 証明

是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。 ~順次作成中~ 正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。 合同な図形をうまく使った証明方法です。 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。 16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。 垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。 相似を使った最もシンプルな証明方法です。 合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。 他にもいろいろあるので、調べてみてください。

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ピタゴラス眶

ピタゴラス の 定理 証明

視覚的証明 における ピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、: Pythagorean theorem)は、の3の長さの関係を表す。 三平方の定理(さんへいほうのていり)、 勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。 ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。 例えば、において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる。 このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。 この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間のを測ることができる。 このようにして導入される距離はと呼ばれる。 「がのタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスがしたかどうかは分からない。 のや などでもについては知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。 中国古代の数学書『』や『』でもこの定理が取り上げられている。 中国ではこの定理を 勾股定理、 商高定理等と呼び、日本のでも中国での名称を用いて 鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ。 三平方の定理という名称は、が禁じられていた中にの図書監修官であったの依頼を受けて、数学者が命名したものである [ ]。 特に、 a, b, c がであるピタゴラス数 a, b, c を 原始的 primitive あるいは 素 coprime であるといい、そのようなピタゴラス数は 原始ピタゴラス数 primitive Pythagorean triple などと呼ばれる。 全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数 a, b, c の正の整数倍 da, db, dc により得られる。 ピタゴラス数 a, b, c が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることがである。 原始ピタゴラス数の具体例は a, b, c が100未満で、 a n• 上記の m, n は無数に存在するので、原始ピタゴラス数は無数に存在する。 これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく見つけ出すことができる。 原始ピタゴラス数の一覧表 m n a b c 1 2 1 3 4 5 2 3 2 5 12 13 3 4 3 7 24 25 4 4 1 8 15 17 5 5 4 9 40 41 6 6 5 11 60 61 7 6 1 12 35 37 8 7 6 13 84 85 9 8 7 15 112 113 10 8 1 16 63 65 11 9 8 17 144 145 12 10 9 19 180 181 13 5 2 20 21 29 14 10 1 20 99 101 15 11 10 21 220 221 16 12 11 23 264 265 17 12 1 24 143 145 18 13 12 25 312 313 19 14 13 27 364 365 20 7 2 28 45 53 21 14 1 28 195 197 22 15 14 29 420 421 23 16 15 31 480 481 24 16 1 32 255 257 25 7 4 33 56 65 m n a b c 26 17 16 33 544 545 27 18 17 35 612 613 28 9 2 36 77 85 29 18 1 36 323 325 30 19 18 37 684 685 31 8 5 39 80 89 32 20 19 39 760 761 33 20 1 40 399 401 34 21 20 41 840 841 35 22 21 43 924 925 36 11 2 44 117 125 37 22 1 44 483 485 38 23 22 45 1012 1013 39 24 23 47 1104 1105 40 8 3 48 55 73 41 24 1 48 575 577 42 25 24 49 1200 1201 43 10 7 51 140 149 44 26 25 51 1300 1301 45 13 2 52 165 173 46 26 1 52 675 677 47 27 26 53 1404 1405 48 28 27 55 1512 1513 49 28 1 56 783 785 50 11 8 57 176 185 m n a b c 51 29 28 57 1624 1625 52 30 29 59 1740 1741 53 10 3 60 91 109 54 15 2 60 221 229 55 30 1 60 899 901 56 31 30 61 1860 1861 57 32 31 63 1984 1985 58 32 1 64 1023 1025 59 9 4 65 72 97 60 33 32 65 2112 2113 61 34 33 67 2244 2245 62 17 2 68 285 293 63 34 1 68 1155 1157 64 13 10 69 260 269 65 35 34 69 2380 2381 66 36 35 71 2520 2521 67 36 1 72 1295 1297 68 37 36 73 2664 2665 69 14 11 75 308 317 70 38 37 75 2812 2813 71 19 2 76 357 365 72 38 1 76 1443 1445 73 39 38 77 2964 2965 74 40 39 79 3120 3121 75 40 1 80 1599 1601 原始ピタゴラス数 a, b, c について、次のような性質も成り立つ。 a または b は 4 の倍数• a または b は 3 の倍数• Jesmanowicz 予想 [ ] 1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。 a, b, c を原始ピタゴラス数、 n を自然数とする。 特別なピタゴラス数 [ ]• 直角を作る a , b の長さが連続するピタゴラス数は 3, 4, 5 , 20, 21, 29 , 119, 120, 169 , … の数列 である。 この問題はフランスの数学者が出題し、解も発見した。 この問題はフランスの数学者が出題し、解も発見した。 これは高次元へ一般化できる。 ピタゴラスの定理の証明 [ ] この定理には数百通りもの異なるが知られている。 ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。 相似による証明 [ ] 相似を用いた証明 C から斜辺 AB に下ろしたの足を H とする。 3 となる。 オイラーの公式を用いた証明 [ ] と指数関数はによってされているものとする。 (指数法則やの証明に本定理が使用されない定義であればよい。 の時点ですでに上において本定理の成立が明らかである。 よって 3 が得られる。 三角関数の不定積分を用いた証明 [ ] 下記のように関数を定める。 以下に証明を示す。 同一法を用いた証明 [ ] 2 が成り立っている。 なお、この証明から分かるように、• 余弦定理を用いた証明 [ ] 余弦定理を用いた証明 ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。 ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• 大矢, 真一『』東海大学出版会〈Tokai library〉、2001年8月。 大矢, 真一『ピタゴラスの定理』東海大学出版会〈東海科学選書〉、1975年。 『ピタゴラスの定理』東海書房、1952年。 亀井喜久男. 2008年3月3日閲覧。 国立国会図書館• 数理解析研究所講究録 京都大学数理解析研究所 1828: 105. (2013年11月28日時点の) - 道新ぶんぶんクラブ(北海道新聞社)• a の順序はの数列 による。 b, cを昇順に並べると、それぞれの数列 およびの数列 になる。 , pp. 31-34, 106-109• , pp. 19-22, 49-55• a の順序はの数列 による。 , pp. 93-95, 99-101 、, pp. 114-115, 180• , pp. 99-101, 147-149• , pp. 151, 174-177 、の数列 を参照。 ただしオンライン数列内のコメント内にある a の値が間違っているので注意が必要。 稲津 將. 2014年10月4日閲覧。 2014年10月4日閲覧。 Leff, Lawrence S. 2005. 7th ed. Barron's Educational Series. 296. 2014年10月8日閲覧。 2014年10月5日閲覧。 2014年11月26日閲覧。 Hamilton, James Douglas 1994. Time series analysis. Princeton University Press. 714. 2014年11月22日閲覧。 2014年11月20日閲覧。 2014年11月20日閲覧。 2014年11月22日閲覧。 2014年11月22日閲覧。 参考文献 [ ]• 『フェルマーの大定理が解けた! オイラーからワイルズの証明まで』〈 B-1074〉、1995年6月。 出光英則『ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理』 編、国土社〈数学ワンダーランド 7〉、1997年8月。 カプラン, ロバート、カプラン, エレン『数学の隠れたハーモニー ピタゴラスの定理のすべて』水谷淳 訳、ソフトバンククリエイティブ、2011年12月。 — 原題: Hidden harmonies. シルヴァーマン, ジョセフ・H『はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』鈴木治郎 訳、丸善出版、2014年5月、原著第3版。 — 原題: A friendly introduction to number theory 3rd ed. 『フェルマ 数と曲線の真理を求めて』現代数学社、2019年1月。 マオール, エリ『ピタゴラスの定理 4000年の歴史』伊理由美 訳、岩波書店、2008年2月。 — 原題: The Pythagorean theorem. 森下四郎『ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道』プレアデス出版、2010年8月、改訂版。 森下四郎『ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎』プレアデス出版、2010年12月。 関連項目 [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。

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